ПРОГРАМА кандидатських іспитів 01.05.02

Затверджені вченою радою Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
(протокол № 2 від 27 лютого 2007 р.)

1. Математичне моделювання

Фізичне та математичне моделювання. Детерміновані, евристичні, імітаційні та ймовірностні моделі. Внутрішні та зовнішні збурення.

Математичні моделі динамічних процесів із зосередженими параметрами. Дискретні та неперервні процеси. Фазовий стан і керування. Коректність моделей.

Методи ідентифікації параметрів математичних моделей.

Методи статистичного оцінювання параметрів моделей.

Методи перевірки гіпотез.

Методи ідентифікацій динамічних моделей при неповних спостереженнях.

Методи оцінки фазового стану при неповних спостереженнях. Фільтри Калмана-Бьюсі для дискретних і неперервних систем.

Математичні моделі динамічних процесів із розподіленими параметрами. Коректність і адекватність моделей.

2. Математичні методи оптимізації

Основні поняття про задачі математичного програмування.

Методи лінійного і нелінійного програмування (симплекс – метод, можливих напрямків).

Методи негладкої оптимізації (найшвидшого спуску, узагальнених градієнтів). Методи дискретної та комбінаторної оптимізації.

Алгоритми стохастичної оптимізації.

Теорема Куна-Таккера.

3. Методи розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з прямокутними і квадратними виродженими матрицями

Узагальнені розв’язки систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Псевдооберенені матриці. Сингулярне розкладання матриць.

Методи А.Н. Тихонова, сингулярного розкладання, псевдообернення матриць. Нормалізований процес і його застосування до розв’язку систем з довільними прямокутними матрицями.

Ітераційні методи розв’язку систем з неєдиним розв’язком і несумістних систем з симетричними матрицями.

Ітераційні методи отримання узагальнених розв’язків несумісних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

4. Методи розв’язку систем нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

Нелінійні рівняння з одним невідомим. Відокремлення коренів. Методи Ньютона, простої ітерації, січних.

Знаходження комплексних коренів, трансцендентних рівнянь. Чисельне розв’язування поліноміальних рівнянь.

Розв’язок систем нелінійних рівнянь. Методи Ньютона, простої ітерації, квазіньютонівського типу, спуску. Одно- і двокрокові градієнтні методи.

5. Чисельні методи розв’язку крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

Постановки крайових задач. Проблема існування, єдності і коректності для крайових задач.
Проекційні методи розв’язку. Оцінка похибки.

Метод скінченних різниць. Дискретизація, апроксимація, стійкість, збіжність розв’язку.

Метод скінченних елементів. Дискретизація, збіжність методу. Оцінка числа обумовленості матриць. Базисні функції. Достовірність розв’язків.

6. Чисельні методи розв’язку диференціальних рівнянь в частинних похідних

Постановка задач. Крайові, початкові умови.

Узагальнені розв’язки.

Явні та неявні різницеві схеми.

Метод скінченних елементів.

Метод скінченних різниць. Збіжність методів.

Обчислення власних значень і власних функцій деяких диференціальних операторів. Постановка задачі.

Ітераційні методи розв’язку різницевих задач на власні значення.

Схеми методу скінченних елементів та їх збіжність.

Список літератури

1.Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики / Под ред. Г.И.Марчука. Учебн. пособие. – М.: Физматлит, 2002. – 320 с.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплофизика. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 784 с.

3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. – М.: Научный мир, 2003. – 316 с.

4. Воеводин В.В, Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 320 с.

5. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Математические модели и методы расчета задач с разрывными решениями. – Киев: Наук. думка, 1995. – 262 с.

6. Згуровский М.З., Скопецкий В.В., Хрущ В.К., Беляев Н.М. Численное моделирование распространения загрязнения в окружающей среде. – Киев: Наук. думка, 1997. – 365 с.

7. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. – Киев: Наук. думка, 1985. – 318 с.

8. Кузьмичев Д.А., Радкевич М.А., Смирнов А.Д. Автоматизация экспериментальных исследований: Учебн. пособие для вузов. – М.: Наука, 1983. – 391 с.

9. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробагатько А.А. Методы вычислений (Численый анализ. Методы решения задач математической физики). – Киев: Вища шк., 1977. – 408 с.

10. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 608 с.

11. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. думка, 1988. – 343 с.

12. Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. – Киев: Наук. думка, 1989. – 272 с.

13. Представление и использование знаний / Х. Уєно, Т. Кояма, Т. Окамото и др. – М.: Мир, 1989. – 220 с.

14. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. – М.: Наука, 1982. – 144 с.

15. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1987. – 288 с.

16. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.М. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.

17. Система управления базами данных и знаний / Наумов А.Н., Вандров А.М., Иванов В.К. и др. –М.: Финансы и статистика, 1991.– 352 с.

18. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.; Л.: Физматгиз, 1963. – 734 с.

19. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992, – 383 с.

20. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем. Исскуство и наука. – М.: Мир. 1978. – С.73 – 77.

21. Шор Н.З., Стеценко С.И. Квадратично экстремальные задачи и недифферцируемая оптимизация. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.

Програму склав:
член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук
професор В.В. СКОПЕЦЬКИЙ